KM-21｜情報Ⅰ 対策問題
令和7年度追試 第1問 問4 前問のラーメン店(表3)では現在4種類の具材のトッピングが可能だが、さらにトッピング具材の種類を増やしたい。送られる数値の十の位と一の位を見ればトッピングがわかるようにするとき、最大で何種類のトッピング具材を区別することができるか。最も適当なものを選べ。(トッピングは複数種類選択可能で、選択なしも可)
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正解: 2
正答
2
問題の整理
前問の続きです。トッピングの合計値に使えるのは「十の位と一の位」、つまり0〜99の範囲だけ。複数選択の組合せを一意に識別するには、各具材に2のべき乗(1, 2, 4, 8, 16, 32, …)を割り当てるのが最も効率的でした。何種類まで増やせるかは、「全部選んだときの合計が99以下に収まるか」で決まります。
解き方
2のべき乗を順に足していき、99を超えない最大の個数を探します。
- 5種類: 1+2+4+8+16 = 31 ≤ 99 ○ (まだ余裕あり)
- 6種類: 31+32 = 63 ≤ 99 ○
- 7種類: 63+64 = 127 > 99 ✗ (2桁からはみ出す)
6種類までは全選択でも63で収まりますが、7種類目(64)を加えると全選択の合計が127になり、100の位へ繰り上がって麺の情報を壊してしまいます。よって最大は6種類です。
この「n種類の全選択合計 = 2^n − 1」という値は、ビットの世界の「nビットで表せる最大値」と同じものです(6ビット=63、7ビット=127、8ビット=255)。トッピングの問題に見えて、実はビット数と表現できる範囲の問題なのです。
選択肢の確認
1．× 5種類(合計31)でも収まるが、まだ増やせるので最大ではない。
2．○ 6種類の全選択合計63が、99以下に収まる限界。
3．× 7種類だと全選択127で2桁を超える。
4．× 8種類だと全選択255でさらに超える。
ここだけは覚えよう
n個の2のべき乗の合計 = 2^n − 1 — 「上限に収まる最大のn」を探す問題はこの式で即断できる。